Lab 3 · Portfolio Construction

投資組合建構實驗室

同一批股票，用 6 種方法建投組，權重差多少、績效差多少？ 在這裡親手選股、勾方法、即時比較，完成後可以帶走一份完整的策略報告。

1選擇資產
2回測設定
3挑選建構法
4觀察與比較

開始之前

🕹️ 你要做什麼

  1. 讀「觀念導覽」——點開各建構法的公式與直覺。
  2. 進入實驗室：選資產、設回測區間、勾選 6 種建構法。
  3. 看並排比較：權重、效率前緣、權益曲線、回撤、KPI 表。
  4. 完成 5 題引導式練習，自己算一遍。
  5. 讀「教學洞見」，把 Markowitz 詛咒、估計誤差等陷阱內化。
  6. 進階：打開 Colab 區塊，用 NumPy / cvxpy 親手解同一批權重。

🧠 要建立的觀念

  • 建投組的核心是「在風險與報酬之間取捨」，不是選「最好的」一檔。
  • 每種建構法背後都有哲學假設：用不用 μ？重風險還是重資本？
  • 樣本內（in-sample）漂亮 ≠ 樣本外（out-of-sample）也漂亮，要警覺過擬合。
  • 效率前緣告訴你「報酬-風險最佳可能」，但實務上常做不到。

🛠️ 會學到的方法

  • 等權、市值、逆波動、風險平價、GMV、Max Sharpe 的完整公式。
  • 共變異數矩陣 $\Sigma$ 與矩陣反運算 $\Sigma^{-1}$ 的計算。
  • 求切點組合（Tangency Portfolio）的閉式解。
  • 用牛頓迭代解風險平價權重。
本章學習路徑：先讀「觀念導覽」建立直覺 → 用「互動實驗室」親眼看 6 種方法差異 → 做「引導式練習題」驗證自己真的會算 → 最後寫「延伸討論」整理成策略報告匯出。

📘 觀念導覽 · 6 種建構法的哲學與公式

投資組合建構的核心問題是：「有 N 檔資產，該把資金怎麼分配？」不同流派給出不同答案。 點擊下方各方法展開，看公式、直覺、優缺點。

三個共同前提：所有方法都建立在「報酬率 $r_{i,t}$ 的時間序列」與「共變異數矩陣 $\Sigma$」上。差別在於：
  • 是否用到預期報酬 $\mu$？（用了就會放大估計誤差）
  • 是否有閉合解（一條公式算出）還是需要迭代？
  • 是否允許放空（負權重）？
① 等權 (1/N) 最簡單
$$ w_i = \frac{1}{N} \quad \text{for all } i $$
直覺：「不知道哪個會漲，就一視同仁」。
不需要估計：不用 $\mu$、也不用 $\Sigma$。
優點：無估計誤差、樣本外常常打敗複雜模型（DeMiguel et al., 2009）。
缺點：忽略資產風險差異；把高波動與低波動同權處理。
② 市值加權 (Market-Cap) 指數基金的底層
$$ w_i = \frac{\text{MCap}_i}{\sum_j \text{MCap}_j} $$
直覺：「市場已經告訴我們誰比較重要」。S&P 500、台灣 0050 都是這個邏輯。
特性：被動、低換手、稅務效率高。
優點：反映市場共識；流動性好、容易複製。
缺點：在泡沫時期會過度集中於大公司（2000 科技泡沫、2021 FAANG）。
③ 逆波動加權 (Inverse Volatility) 風險感知
$$ w_i = \frac{1/\sigma_i}{\sum_j 1/\sigma_j} $$
直覺：「越危險的資產放越少」—— 但忽略資產間的相關性。
使用時機：對 $\Sigma$ 估計沒信心時的穩健替代品。
優點：只需估 $\sigma_i$（比估整個 $\Sigma$ 簡單）、封閉解。
缺點：當資產高度相關時會高估分散效果。
④ 風險平價 (Risk Parity / ERC) Bridgewater 流派
$$ w_i \cdot (\Sigma w)_i = \frac{\sigma_p^2}{N} \quad \text{for all } i $$
直覺：每檔資產對投組總風險的貢獻相等（不是每檔資金相等）。
求解：無封閉解，需迭代（本實驗室使用 Griveau-Billion 2013 座標下降法）。
優點：天然分散、權重全正、不吃 $\mu$ 估計雜訊；Ray Dalio 的 All Weather 核心。
缺點：低風險資產（如長債）會被加重槓桿；極端時仍可能同向崩跌（2022）。
⑤ 最小變異 (GMV) 馬可維茲 · 封閉解
$$ w_{\text{GMV}} = \frac{\Sigma^{-1} \mathbf{1}}{\mathbf{1}^\top \Sigma^{-1} \mathbf{1}} $$
直覺：在所有可能的權重組合中，找出「波動度最小」的那一個。
效率前緣最左端：所有前緣投組裡最低風險的那個。
優點：不需要估 $\mu$！這是實務上極大的優勢（$\mu$ 難估、雜訊大）。
缺點：權重可能含負值（放空）；對 $\Sigma$ 估計誤差敏感（特別是相關性高時）。
⑥ 最大夏普 / 切點組合 (Max Sharpe / Tangency) 理論最優
$$ w_{\text{MSR}} = \frac{\Sigma^{-1}(\mu - r_f \mathbf{1})}{\mathbf{1}^\top \Sigma^{-1}(\mu - r_f \mathbf{1})} $$
直覺：在效率前緣與資本市場線 (CML) 的切點——單位風險下報酬最高的那個組合。
理論地位：CAPM 之母，所有投資人在理論上應該都持有這個組合 + 無風險資產的混合。
優點：理論上最優；提供效率前緣上的「基準點」。
缺點：極度依賴 $\mu$ 估計（樣本外常大幅失靈，稱為「Markowitz 詛咒」）；常需放空。
讀完記住這三句話：
1. 等權 / 市值 / 逆波動不需要估 $\mu$ 或 $\Sigma$（或只估一部分），穩健但不最優。
2. 風險平價 / GMV需要估 $\Sigma$，次穩健，不用 $\mu$，實務常見。
3. Max Sharpe需要估 $\mu$ 與 $\Sigma$，最不穩健，理論最優但樣本外常翻車。

STEP 1選擇資產

建議選 3 ~ 6 檔資產：太少看不出分散效果，太多矩陣運算會失真。點擊卡片勾選/取消。

快速範例：

STEP 2回測設定

這些參數會影響「怎麼算」出來的結果。方法論的第一層選擇，就從這裡開始。

預設為各資產共同可得的最早日期
預設為最近一筆交易日
Sharpe / Sortino 會用；實務常取美 3M T-bill
年化換算的基礎
方法論小提示：日報酬率年化用 (1+μ_daily)^252 - 1（幾何法）； 學術文獻常見另一種 μ_daily × 252（算術法），兩者在高波動時會差很多。 本實驗室採幾何法，因為它能還原實際累積報酬。

STEP 3挑選建構方法（可多選）

勾越多可以並排比較；建議至少勾 3 種，才看得出差異。

等權 (1/N)
最簡單、最無假設的基準線。每檔一樣多。
市值加權
仿大盤指數思路：大公司占比大。
逆波動加權
波動小的權重高；最直觀的「風險感知」。
風險平價
每檔對投組的風險貢獻相等（Bridgewater 式）。
最小變異 (GMV)
馬可維茲：封閉解 w = Σ⁻¹·1 / (1'Σ⁻¹1)。
最大夏普 (切點)
CML 與前緣切點；w ∝ Σ⁻¹(μ - rf·1)。

STEP 4權重與績效比較

同一批資產、同一段期間，不同方法的權重分配與績效表現。

📊
選擇至少 2 檔資產 & 1 種建構法，這裡會自動出現結果。

視覺化馬可維茲效率前緣

雙曲線上的每一點都代表「那個報酬下，變異數最低的組合」。你選的 6 種建構法會標在圖上， 離前緣越近代表越有效率。

風險 - 報酬平面 橫軸：年化波動度 ・ 縱軸：年化報酬率

權益曲線（累積報酬） 以 1 元為起始本金

回撤 (Drawdown) 從歷史高點往下跌的比例

📝 引導式練習題

下列題目指定了資產與期間（仿照你熟悉的 Word 習題風格）。請自己動手算， 或用上方實驗室輔助，填入答案後點「核對」，系統會告訴你對不對、並回饋正確解。 數值格式一律 XX.XX% 或 0.XXXX，誤差 < 0.05% 視為正確。

🔍 教學洞見 · 6 個關鍵觀念

實驗室讓你看到「結果」，這一段解釋「為什麼」。每張卡片都指出一個 投資組合理論裡容易被忽略、但會直接影響你投資決策的細節。

🎭

Markowitz 詛咒：μ 難估，動一點 Max Sharpe 就全變

Max Sharpe 的公式是 $w \propto \Sigma^{-1}(\mu - r_f \mathbf{1})$。把任何一檔資產的 年化報酬估計調高 1%，權重常常就會從 +30% 跳到 +80%、甚至負值翻正。 $\mu$ 的估計誤差平均約 $\sigma/\sqrt{T}$，用 5 年日資料仍是報酬本身的 1/√1260 × 年化 ≈ 2~5%，跟真值根本同量級。

親手驗：把 STEP 2 起始日調早/晚半年，看 Max Sharpe 權重變化幅度，再看 GMV 幾乎不動。

🎭 μ 擾動 1% 看權重跳多遠
mu2 = mu.copy(); mu2[0] += 0.01
w_a = np.linalg.solve(Σ, mu  - rf)
w_b = np.linalg.solve(Σ, mu2 - rf)
# normalize, 看 (w_b - w_a) 常常是 20~60% 級的差
🧊

GMV 不用 μ，所以穩定——但它不是「最好」，是「最穩」

GMV 的封閉解 $w = \Sigma^{-1}\mathbf{1} / (\mathbf{1}^\top \Sigma^{-1} \mathbf{1})$ 只仰賴 $\Sigma$ 估計，完全不用 $\mu$。相當於告訴你 「在所有權重相加 = 1 的組合裡，哪一個的波動度最小」。 實務上 GMV 樣本外的 Sharpe 常常比 Max Sharpe 還高，穩定 > 最優。

親手驗：在實驗室裡比較 GMV 和 Max Sharpe 的「權重分散度」， GMV 通常更集中在低波動的債券 ETF（如 TLT）。

🧊 GMV 閉式解（不用 μ）
ones  = np.ones(len(tickers))
w_gmv = np.linalg.solve(Σ, ones)
w_gmv /= w_gmv.sum()
📉

共變異數條件數：Σ 幾乎不可逆時，$\Sigma^{-1}$ 會爆炸

當資產高度相關（例如全是美股科技股），$\Sigma$ 的最小特徵值接近 0， 求逆之後數值會放大 1000 倍以上。條件數 $\kappa(\Sigma) = \lambda_{max}/\lambda_{min}$ 超過 1000 就該警戒。 解法：對 $\Sigma$ 做 Ledoit-Wolf shrinkage，朝對角線收縮一點。

親手驗：用 python 算 $\kappa = $ np.linalg.cond(sigma)， 把 AAPL/MSFT/GOOGL/META 放一起你會看到 κ > 500。

📉 條件數 + Ledoit-Wolf 救援
κ = np.linalg.cond(Σ)          # > 1000 警戒
from sklearn.covariance import LedoitWolf
Σ_shrunk = LedoitWolf().fit(rets).covariance_ * 252
🎯

風險平價的槓桿問題：低風險資產會被買爆

Risk Parity 要求每檔資產對總風險的貢獻相等，結果就是 低波動的債券 / 黃金被加重。Bridgewater 的 All Weather 因此要搭配槓桿 （借錢買債），才能讓組合總報酬拉到跟股票相近。不上槓桿的 RP 報酬會偏低。

親手驗：勾選 VTI + TLT + GLD，比 RP 和等權的年化波動度。 RP 波動度低一半，但 CAGR 也低一半，Sharpe 卻相近。

🎯 各資產的風險貢獻
mrc = Σ @ w                    # 邊際風險貢獻
rc  = w * mrc                  # 各資產風險貢獻
# RP 目標：rc[i] 全部相等 = σ_p² / N
📏

樣本內 vs 樣本外：績效評估的黃金準則

所有用整段期間資料算出來的權重，套回整段期間報酬，都是「樣本內」。 樣本內的 Sharpe 跟明牌沒兩樣——資料都看過了當然漂亮。 要真正評估一個方法，必須切 train/test：前 3 年估權重，後 1 年看表現；滾動做。

親手驗：打開 Colab notebook 看 2015–2021 train → 2022–2026 test 的 OOS 對照，Max Sharpe 會掉很多。

📏 Train / Test 切分
train = rets.loc[:"2021-12-31"]
test  = rets.loc[ "2022-01-01":]
w     = solve_msr(train)        # 只用過去估
oos   = test @ w                # 在未來看表現
🚫

放空限制：實務上的 $w_i \geq 0$ 會改變一切

閉式解常給出負權重（尤其 Max Sharpe），但真實投資人大多不能放空。 加上 $w_i \geq 0$ 後問題變成 QP (二次規劃)，沒有封閉解，要用 cvxpy / scipy。 限制後的 GMV 通常集中在 2~3 檔資產——能分散的路就少了。

親手驗：在 Colab 裡用 cvxpy 加上 w >= 0 約束， 比較「有/無放空限制」的 Max Sharpe 權重差幾倍。

🚫 Long-only GMV (cvxpy)
import cvxpy as cp
w = cp.Variable(n)
cp.Problem(cp.Minimize(cp.quad_form(w, cp.psd_wrap(Σ))),
           [cp.sum(w) == 1, w >= 0]).solve()
📓
想看所有 snippet 串成完整 pipeline？
上方每張洞見卡都附 3~5 行對應程式碼。完整版 notebook 把它們串成： 下載資料 → 求 GMV/MSR → cvxpy 加限制 → Train/Test OOS 對比。 在 lab3_markowitz.ipynb 一鍵重現。
在 Colab 開啟 →