Lab 2 · Tail Risk & Square-Root Rule
尾部風險與平方根法則
Lab 1 我們已經知道：報酬率不是常態。那該怎麼量化「最壞會多慘」？ 本 Lab 用 10 年真實資料跑歷史模擬法：計算 $\text{VaR}_{5\%}$、$\text{VaR}_{1\%}$、$\text{ES}_{5\%}$、$\text{ES}_{1\%}$、最大回撤 $\text{MDD}$； 再用平方根法則把日頻 VaR 換算成月頻，看看這個便宜的換算在真實市場裡到底差多少。
對應 CH4 問題集 P1–P3
對應 CH5 問題集 P1–P3
資料期間 2016-01-01 ~ 2025-12-31
開始之前
🕹️ 你要做什麼
- 挑 2~6 檔資產（預選 QQQ/SPY/AAPL/KO，也可加入台股 2330 / 0050 / 00645）。
- 看「日頻 / 月頻」兩張尾部風險表：$\text{VaR}_{5\%}$、$\text{ES}_{5\%}$、$\text{VaR}_{1\%}$、$\text{ES}_{1\%}$、$\text{MDD}$。
- 看「平方根法則誤差」表：將日 VaR/ES 乘上 $\sqrt{22}$，對照實際月值，找出誤差 > 20% 的項目。
- 寫三題反思 → 匯出 Markdown 報告（含完整 Python 實作碼）。
🧠 要建立的觀念
- VaR（Value-at-Risk）：在某信賴水準下的最壞單期損失分位數。$\text{VaR}_{5\%}$ = 100 天裡最慘的 5 天會超過的跌幅。
- ES（Expected Shortfall）：「破線那天平均跌多慘」。ES 永遠比 VaR 更負，能反映尾端厚度。
- MDD（Maximum Drawdown）：歷史上從波峰到波谷的最大累積跌幅 — 反映實際持有經驗。
- 平方根法則（$\sigma_T = \sigma_d \sqrt{T}$）在 IID 假設下成立。厚尾 + 波動叢聚 → 月 VaR 比 $\sqrt{T}$ 估出來的更極端。
🛠️ 會學到的方法
- 歷史模擬 VaR：
ret.quantile(0.05)（pandas 線性內插分位數）。 - ES：
ret[ret <= var].mean()（尾端條件平均）。 - MDD：
(px / px.cummax() - 1).min()。 - 平方根法則換算與相對誤差評估：
|d·√22 − m| / |m|。
📐 本 Lab 使用的關鍵公式
$$\text{VaR}_\alpha(R) = -\inf\{x \in \mathbb{R} : \Pr(R \le x) \ge \alpha\} \quad\text{(歷史分位數)}$$
$$\text{ES}_\alpha(R) = \mathbb{E}[\,R \mid R \le \text{VaR}_\alpha\,]$$
$$\text{MDD} = \min_{t}\left(\frac{P_t}{\max_{s \le t} P_s} - 1\right)$$
$$\text{VaR}_T \approx \text{VaR}_d \cdot \sqrt{T},\ T = 22 \quad\text{(平方根法則，IID 假設)}$$
本 Lab 的 VaR / ES 以負數呈現（損失方向）。pandas 的 quantile 使用線性內插；我們的 JS 實作刻意與之一致，方便你用 Colab 驗證。
1選擇資產
資料期間固定為 2016-01-01 ~ 2025-12-31（配合 CH4/CH5 問題集作業規格）可多選 2~6 檔 — 建議同時包含股票（如 AAPL）與相對穩定資產（如 KO）以對比尾部厚度。
2歷史模擬尾部風險
對應 CH4 問題集 P1（日頻）、CH5 問題集 P1（月頻）🐍 Python 程式碼（計算 VaR / ES / MDD，點擊展開）
import yfinance as yf, pandas as pd, numpy as np
tickers = ["QQQ", "SPY", "AAPL", "KO"] # 可加 "2330.TW" / "0050.TW" / "00645.TW"
data = yf.download(tickers, start="2016-01-01", end="2025-12-31",
auto_adjust=False)["Adj Close"]
# === 日 / 月報酬 ===
daily = data.pct_change().dropna()
monthly = data.resample("M").last().pct_change().dropna()
# === 歷史模擬 VaR + ES ===
def var_es(ret, q):
var = ret.quantile(q) # 線性內插分位數
es = ret[ret <= var].mean() # 尾端條件平均
return var, es
for sym in data.columns:
d5, d5e = var_es(daily[sym], 0.05)
d1, d1e = var_es(daily[sym], 0.01)
m5, m5e = var_es(monthly[sym], 0.05)
m1, m1e = var_es(monthly[sym], 0.01)
print(f"{sym} 日: VaR5={d5:.4f} ES5={d5e:.4f} VaR1={d1:.4f} ES1={d1e:.4f}")
print(f"{sym} 月: VaR5={m5:.4f} ES5={m5e:.4f} VaR1={m1:.4f} ES1={m1e:.4f}")
# === MDD ===
for sym in data.columns:
px = data[sym].dropna()
mdd = (px / px.cummax() - 1).min()
print(f"{sym} MDD = {mdd:.4f}")3平方根法則誤差分析
對應 CH4 問題集 P3 / CH5 問題集 P3：用日頻 VaR×√22 推估月頻，對照真實月值的相對誤差🐍 Python 程式碼（√T 誤差檢驗，點擊展開）
import numpy as np
T = 22
mult = np.sqrt(T)
for sym in data.columns:
d5, _ = var_es(daily[sym], 0.05)
m5, _ = var_es(monthly[sym], 0.05)
theory = d5 * mult
err = abs(theory - m5) / abs(m5)
print(f"{sym}: 真實月 VaR5={m5:.4f} 理論(√T)={theory:.4f} 相對誤差={err:.2%}")