風險衡量實驗室
VaR（Value at Risk）有三種常見算法——歷史模擬、參數法（常態）、蒙地卡羅。 三者給出的「明天最壞跌多少」可能差很多，在 2020 年三月、2022 年升息熊市的極端日子，誰預測得準？誰被市場教訓？
開始之前
🕹️ 你要做什麼
- 挑 1 個預設投組，設定信心水準（95%/99%）、回望期（250/500/1000 日）、蒙地卡羅次數。
- 看中央「三張 VaR 卡」：歷史、參數、蒙地卡羅的預測值差多少。
- 看「報酬直方圖」的三條虛線（各方法的 VaR 線）在哪。
- 滑到「實際破線紀錄」，看 2020-03 / 2022 熊市哪些天被誰誤判。
- 寫反思 → 匯出報告。
🧠 要建立的觀念
- VaR = 在某信心水準下，可能的最壞單日跌幅（95% VaR = -2% ≈ 100 天裡最慘的 5 天會超過這個跌幅）。
- 參數法假設常態分配，遇到胖尾（fat tail）會嚴重低估風險。
- 歷史模擬不假設分配，但「從沒發生過的事」它不會預測。
- CVaR 告訴你「破線那天平均有多慘」，比 VaR 更能反映尾端風險。
🛠️ 會學到的方法
- 歷史模擬：取日報酬的
(1−conf)分位數。 - 參數法：
μ + z·σ（z 由 Acklam 逆常態近似算出）。 - 蒙地卡羅：以 μ、σ 採樣 N 次，取分位數。
- Backtesting：算實際破線次數 vs 理論預期次數的偏差。
1選投資組合
用 preset 先跑起來，這個 Lab 重點在「算風險的方法」不在建構。2設定 VaR 參數
信心水準越高，VaR 越「極端」；窗口越長，對極端事件越鈍感。🧪 參數
3三法並排比較
三種算法給出今日的 1-day VaR / CVaR。數字越負代表預測虧損越慘。日報酬率分布 + 三條 VaR 預測線
直方圖是你選擇區間內的實際日報酬分布。三條垂直線是三種方法對「1-day VaR」的預測。超過線的左側就是 VaR 破線日。
Backtest：VaR 破線（Exceedance）時點
紅點 = 當日實際虧損超過歷史模擬 VaR 預測。在理想狀態下，破線比例應該接近 (1 − 信心水準)。
🎓 教學解讀：三種 VaR 該在什麼場景用？
每種方法都有假設。看出「哪個假設在哪個時候會爆掉」才是風控的核心素養。歷史模擬法的盲點
「取 (1−信心水準) 分位數」看似客觀，但假設了未來極端程度 ≤ 歷史。如果回溯窗口剛好錯過 2008 / 2020，今天的 VaR 會嚴重低估。
💡 試試看：切到「2019–2024」，用 252 日窗口；再切到「全段」，比較 99% VaR。
alpha = 0.05
var_hist = ret.quantile(alpha) # 第 5 百分位
# 沒見過的極端 → 永遠抓不到
參數法 = 常態假設
VaR = μ + z·σ 背後是報酬率服從常態。實際上日報酬是厚尾（G₂ ≫ 0）、偏左（G₁ < 0）；在黑天鵝日子，常態法會顯著低估風險。
💡 試試看：切到 2020（COVID），看直方圖左尾怎麼「衝出」參數法那條虛線。
from scipy import stats
mu, sd = ret.mean(), ret.std()
z = stats.norm.ppf(0.05) # ≈ -1.645
var_par = mu + z * sd # 常態分位數
蒙地卡羅 vs 歷史模擬
MC 用 (μ, σ) 生成大量樣本取分位數 —— 本質上還是常態假設，只是給你信心區間。模擬次數從 1000 → 100000 變化，分位數會越來越穩定，但無法修正模型錯誤（厚尾仍然被漏掉）。
💡 試試看：在同一區間下，把模擬次數從 1,000 拉到 100,000，看 MC VaR 的抖動。
sim = np.random.normal(mu, sd, 100_000)
var_mc = np.quantile(sim, 0.05)
# 換厚尾：stats.t(df=4).rvs(100_000)*sd + mu
ES（CVaR）比 VaR 更完整
VaR 只告訴你「破線的門檻」，ES = 破線那天平均跌多慘。監管機構 Basel III 之所以從 VaR 改採 ES，就是為了抓「尾部有多厚」這件事。ES 絕對比 VaR 更負（更保守）。
💡 觀察：每張卡片的 ES 欄位，對比 VaR 欄位，差距在壓力情境會拉大。
es_hist = ret[ret <= var_hist].mean()
# 常態封閉解：
es_par = mu - sd * stats.norm.pdf(z) / 0.05
🧪 一個不能少的檢定：Kupiec 覆蓋率
VaR 是否可靠？實際破線次數應 ≈ (1 − 信心水準) × 天數。差太多就用卡方檢定拒絕。
把 $N$ 天報酬與 VaR 比對，記錄破線次數 $x$。理論上 $x/N \approx \alpha$。
對數概似比 $LR \sim \chi^2(1)$，$p < 0.05$ 代表 VaR 模型過度樂觀（破太多）或過度保守（破太少）。
breach = (ret < var_hist).sum()
N, p = len(ret), breach / len(ret)
LR = (-2 * (N - breach) * np.log(1 - 0.05)
- 2 * breach * np.log(0.05)
+ 2 * (N - breach) * np.log(1 - p)
+ 2 * breach * np.log(p))
pval = 1 - stats.chi2.cdf(LR, df=1)
# pval < 0.05 → 拒絕 H₀，VaR 模型有問題
上方每張卡都附 3~5 行對應程式碼。想看三法的並排輸出、Kupiec p-value、 以及厚尾 t 分配的對比實驗，可以在 Colab 打開
lab2_var.ipynb。